要点
- 单利：V = P × (1 + r × t)——在原始本金上呈一条直线。
- 复利：V = P × (1 + r)^t——一条曲线，因为利息也在生利息。
- 两者之间的差距随时间加速扩大；越靠后的年份贡献越大。
- 把百分比相加，你就在悄悄使用单利公式——正确做法是把增长因子相乘。
学完本课你能够
- 计算单利下一笔投资的期末价值。
- 计算按年复利下的期末价值。
- 解释为什么单利与复利之间的差距会随时间推移而扩大。
问题
假设你以每年 8% 投资 $1,000，为期 10 年。你的朋友说你每年赚 $80，所以 10 年后你会有 $1,800。这个答案只有在单利下才对——即利息永远只按原始的 $1,000 计算，而从不为你已经赚到的利息付息。真实的投资很少这样运作。在复利下，每一年的盈利会留在账内，也开始生息。结果会有多不同？我们把两种都算一算。
要点: 单利呈一条直线增长。复利则沿一条曲线增长，因为每一年的基数都比上一年更大。
两个公式的演算
Simple: V = P × (1 + r × t) · Compound: V = P × (1 + r)^t
P = $1,000，r = 8%，t = 10 年（示例数字）。单利： 每年利息为 1,000 × 0.08 = $80；10 年共 $800，因此 V = 1,000 × (1 + 0.08 × 10) = $1,800。复利： V = 1,000 × 1.08^10 = 1,000 × 2.1589 = $2,158.92。同样的利率、同样的钱、同样的十年——复利结果比单利高出 $358.92。现在把 t 拉长到 30 年：单利给出 $3,400，而复利给出 1,000 × 1.08^30 = $10,062.66——几乎是三倍之多。差距并非恒定：它在加速。
这个结果意味着什么
复利对时间的奖赏几乎胜过其他一切。在上面的演算中，头 10 年赚得 $1,159 的复利增长，而接下来的 20 年又多赚了约 $7,904——越靠后的年份挑起了大梁，因为基数在不断变大。这也是同一套数学惩罚债务的原因：贷款上未偿的利息会以完全相同的方式对你复利累积。公式不在乎它朝哪个方向发挥作用。
常见误区：用相乘代替复利
经典错误是对一笔实际会复利的投资算成“8% × 10 年 = 80%，所以 $1,000 变成 $1,800”——这悄悄用了单利公式。同一误区的第二个版本：以为一只基金连续 2 年每年收益 10%，总共赚了 20%。它其实赚了 1.10 × 1.10 − 1 = 21%。2 年里差距不大；30 年里则大得惊人。拿不准时，就把增长因子相乘——绝不要把百分比相加。
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参考来源
- Compound Interest Calculator, U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov
- Cognitive Load During Problem Solving: Effects on Learning, Sweller, Cognitive Science (1988)
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